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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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9. Resolver las ecuaciones:
e) 2sen⁡(x)+1=02 \operatorname{sen}(x)+1=0 para x∈Rx \in R

Respuesta

Antes de resolver estos ejercicios te recomiendo que mires los videos de funciones trigonométricas, sino, ver las resoluciones sin entender el por qué te puede llegar a resultar un poco frustrante. ¡Vamos que se puede! Como siempre, primero despejamos la función trignométrica que contiene nuestra incógnita, es decir, el sen⁡(x)\operatorname{sen}(x):

2sen⁡(x)+1=02 \operatorname{sen}(x) + 1 = 0

2sen⁡(x)=−12 \operatorname{sen}(x) = -1


sen⁡(x)=−12\operatorname{sen}(x) = -\frac{1}{2}

1. Buscamos en la circunferencia los valores de xx que cumplen dicha condición:
1.1. Definimos los cuadrantes: El seno toma el valor de −12-\frac{1}{2} en el tercer y cuarto cuadrantes, donde es negativo.

1.2. Buscamos los valores de xx: De la circunferencia trigonométrica obtenemos dos valores en el intervalo de 0≤x<2π0 \leq x < 2\pi donde sen⁡(x)\operatorname{sen}(x) es igual a −12-\frac{1}{2}:
- x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6}, ya que el seno toma el valor de −12-\frac{1}{2} en el tercer cuadrante.
- x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6}, ya que el seno también toma el valor de −12-\frac{1}{2} en el cuarto cuadrante.


2. Encontramos todos los posibles valores de xx a lo largo de todos los períodos posibles: De la circunferencia trigonométrica obtenemos dos valores en el intervalo dado donde sen⁡(x)\operatorname{sen}(x) es igual a −12-\frac{1}{2}:
Para x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6}:
- x=7π6+2πkx = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k
Para x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6}:
- x=11π6+2πkx = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k
Donde kk es cualquier entero (k∈Zk \in \mathbb{Z}) ¿te acordás?
Los valores de xx en R\mathbb{R} que cumplen con 2sen⁡(x)+1=02 \operatorname{sen}(x) + 1 = 0 son:
- x=7π6+2πk;k∈Zx = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \quad k \in \mathbb{Z} - x=11π6+2πk;k∈Zx = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k; \quad k \in \mathbb{Z}


Solución: {7π6+2πk:k∈Z}\left\{ \frac{7\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\} ∪\cup {11π6+2πk:k∈Z}\left\{ \frac{11\pi}{6} + 2\pi k: k \in \mathbb{Z} \right\} No, no te asustes. Ese k∈Zk \in \mathbb{Z} que aparece es lo que ya charlamos en el video. Acordate que cuando no te dan un intervalo donde buscar las soluciones, éstas son INFINITAS. Eso lo expresamos colocando el "+2\pik" luego de cada vallor de xx hallado. Ahora bien, la leyenda k∈Zk \in \mathbb{Z} simplemente significa "con k perteneciente a los números enteros". Es sencillamente aclarar qué valores podría tomar k. Así que no te me estreses corazón 😊❤️
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